Wie Berechnet Man Den Wachstumsfaktor
Inhalt
Exponentialfunktionen Wachstum und Zerfall
Hier beantworten wir folgende Fragen:
- Was ist exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall?
- Wie unterscheidest du exponentielles Wachstum von exponentiellem Zerfall?
- Wozu braucht homo Exponentialfunktionen?
- Wie stellst du die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion auf?
WEITERE LERNINHALTE:
Nach dem Video findest du vertiefende Informationen unten zum Aufklappen. Mit den Lernchecks kannst du testen, ob du alles verstanden hast.
Definition Exponentialfunktion
Exponentialfunktion
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die reelle Zahlen auf positive reelle Zahlen abbildet (f : IR -> IR +).
Dice Funktionsgleichung hat die Form f(x) = a · bx wobei a eine positive reelle Zahl (a ϵ IR +) und b eine positive reelle Zahl, aber nicht 1, ist (b ϵ IR + \ {i}).
Welchen Einfluss hat die Footing auf die Funktion?
Das besondere an Exponentialfunktionen ist, dass die Variable ten im Exponenten steht. Aber auch die Ground, die zum Beispiel b heißt, spielt eine entscheidende Rolle. Je nachdem welchen Wert b chapeau, sieht dice Exponentialfunktion f(x) = b10 ganz anders aus.
Die wichtigsten Fälle, die Du unterscheiden musst, sind b>one (b größer als 1) und 0<b<one (b zwischen 0 und 1).
Warum muss die Basis positiv und ungleich 1 sein?
Was ist, wenn die Ground weder größer als eins, noch zwischen 0 und one ist? Das sind gar keine Exponentialfunktionen. Denn die Basis der Exponentialfunktionen ist definiert als positive Zahl (likewise größer als Null) die ungleich 1 ist. Und warum darf dice Basis nicht gleich 1, gleich 0, oder negativ sein? Das ist der Grund:
Definition Wachstumsfaktor
Wachstumsfaktor
Die Basis b in der Funktionsgleichung f(ten)=b10 nennt human being auch Wachstumsfaktor (für b>ane) oder Zerfallsfaktor (für 0< b<1). Den Wachstumsfaktor kannst du mit der Wachstumsrate berechnen:
Wachstumsrate + 100% = Wachstumsfaktor (meist als Dezimalzahl geschrieben)
Alles verstanden? Mach den Lerncheck
Bakterien vermehren sich durch Teilung. Aus einer Bakterie werden zwei. Die zwei teilen sich wieder und es werden vier, dann acht, sechzehn usw. Sagen wir dice Bakterien teilen sich zum Beispiel einmal pro Infinitesimal. Du legst um xi.00 Uhr eine Bakterie im Labor in eine Petrischale und siehst, dass das Gefäß um 12.00 Uhr voll ist.
Aber wie kam es dazu? Biologen und Mediziner können mit Exponentialfunktionen ausrechnen, wie schnell Bakterien wachsen. Hast Du verstanden, wie schnell exponentielles Wachstum abläuft?
Von % zu Wachstumsfaktor
Oft hast du bei Wachstumsprozessen keinen Wachstumsfaktor gegeben, sondern eine Prozentzahl – die sogenannte Wachstumsrate . Dann heißt es nicht "nach einem Jahr verdoppelt sich die Anzahl" sondern es ist zum Beispiel die Rede von "einem Anstieg um three%", oder einem "Zuwachs von fifty%". In der Funktionsgleichung der Exponentialfunktion brauchst du aber einen Wachstumsfaktor. Was nun?
Ist die Wachstumsrate eines Wachstumsvorgangs als Prozentzahl gegeben, dann beschreibt das dice relative Zunahme einer Größe. Wächst eine Anfangspopulation N0 zum Beispiel mit einer Wachstumsrate von 3% pro Jahr, dann heißt das, dass nach einem Jahr three% mehr da ist als im Jahr davor, likewise 100% + three% = 103% = one,03. Du hast too N(1) = N0 · 1,03
Wiederholst du das immer wieder, erhältst du N(x) = N0 · 1,03x
Wachstumsfaktor
Es aureate also:
Oder anders: Den Wachstumsfaktor bekommst du, indem du 100% + Wachstumsrate in % rechnest und das Ergebnis als Dezimalzahl in die Wachstumsfunktion einsetzt.
Erinnerung - Prozent richtig umrechnen
Viele Fehler passieren beim Umrechnen von Prozent in Dezimalzahl.
Das Prozent-Zeichen sagt dass du durch 100 teilen musst. Denn Prozent heißt von hundert likewise durch 100. Wenn du das %-Zeichen too weglässt und es als Dezimalzahl schreiben willst, dann musst du durch 100 teilen.
Dadurch rutscht das Komma um zwei Stellen nach links.
| Wachstumsrate | Wachstumsfaktor | Wachstumsfunktion |
|---|---|---|
| 0,03% | ane,0003 | Northward(x) = Due north0 · 1,0003x |
| 0,8% | ane,008 | North(x) = North0 · i,008x |
| 2% | 1,02 | N(x) = N0 · 1,02x |
| v,vi% | 1,056 | North(10) = N0 · 1,056x |
| 13% | 1,13 | N(x) = N0 · i,xiiix |
| 50% | one,5 | N(ten) = N0 · 1,fivex |
| 100% | 2 | N(ten) = Due north0 · 210 |
| 140% | ii,4 | N(10) = N0 · 2,4x |
Von % zu Zerfallsfaktor
Und wenn es nicht mehr wird, sondern weniger? Beim Zerfall funktioniert es fast gleich. Nur dass hier nicht addiert wird, sondern subtrahiert. Denn in jedem Schritt ist ja weniger da, als davor. Also zum Beispiel 100% - three% = 97% = 0,97
| Zerfallsrate | Zerfallsfaktor | Zerfallsfunktion |
|---|---|---|
| 4% | 0,96 | Northward(x) = N0 · 0,96ten |
| 0,7% | 0,993 | N(x) = N0 · 0,993ten |
| fifty% | 0,5 | Northward(x) = North0 · 0,5ten |
Potenz-Rechenregeln für die Exponentialfunktion
Das Besondere der Exponentialfunktion ist dice Variable im Exponenten. Zahlen mit Exponent sind Potenzen. Du musst also gut mit Potenzen rechnen können. Dabei helfen dir oft die Potenz-Rechenregeln:
Typische Fehler
Wachstumsrate ist nicht gleich Wachstumsfaktor
Wachstumsrate und Wachstumsfaktor werden oft verwechselt. Sie können zwar ineinander umgerechnet werden, sind aber nicht dasselbe.
| Wachstumsrate | Wachstumsfaktor |
|---|---|
| Anteil | Faktor |
| Welcher Anteil kommt dazu? | Um wie viel vervielfacht es sich? |
| Prozentzahl | Dezimalzahl |
| Steht oft im Text | Brauchst Du für dice Funktionsgleichung |
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Source: https://www.br.de/alphalernen/faecher/mathe/exponentialfunktionen-wachstum-zerfall-lernen102.html#:~:text=Wachstumsfaktor,-Es%20gilt%20also&text=Oder%20anders%3A%20Den%20Wachstumsfaktor%20bekommst,Dezimalzahl%20in%20die%20Wachstumsfunktion%20einsetzt.
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